填空题 12分

在平面直角坐标系中,已知动点 ,点 与点 关于直线 对称,且 .直线 是过点 的任意一条直线。

(1)求动点 所在曲线 的轨迹方程;

(2)设直线 与曲线 交于 两点,且 ,求直线 的方程;

(3)设直线 与曲线 交于 两点,求以 的长为直径且经过坐标原点 的圆的方程。

正确答案

(1) (2) (3)

答案解析

(1)依据题意,可得点 .

.

所求动点 的轨迹方程为 .

(2)   若直线 轴,则可求得 ,这与已知矛盾,因此满足题意的直线 不平行于 轴。

设直线 的斜率为 ,则

 得

设点 ,有  且 恒成立(因点 在椭圆内部)。

于是, ,即

解得

所以,所求直线

(3) 当直线 轴时, ,点 到圆心的距离为1.即点 在圆外,不满足题意.

满足题意的直线 的斜率存在,设为 ,则 .

设点 ,由(2)知, 进一步可求得

依据题意,有

,解得 .

所求圆的半径

圆心为 .

所求圆的方程为:

考察知识点

直线的一般式方程直线与圆锥曲线的综合问题直接法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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