填空题 14分

已知双曲线C的两个焦点坐标分别为 ,双曲线C上一点P到 距离差的绝对值等于2.

(1)求双曲线C的标准方程;

(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A,B两点,且M为AB的中点,求直线l的方程.

(3)已知定点G(1,2),点D是双曲线C右支上的动点,求 的最小值。

正确答案

见解析。

答案解析

(1)依题意,得双曲线C的实半轴长为a=1,焦半距为c=2,

所以其虚半轴长

又其焦点在x轴上,所以双曲线C的标准方程为 .

(2)设A、B的坐标分别为 ,则

两式相减,得

因为M(2,1)为AB的中点,所以

所以 ,即 .

故AB所在直线l的方程为 ,即 .

(3)由已知,得 ,即

所以 ,当且仅当 三点共线时取等号.

因为

所以

的最小值为 .

考察知识点

直线的一般式方程双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质双曲线的相关应用直线与圆锥曲线的综合问题

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