填空题 14分

已知函数 处存在极值。

(1)求实数 的值;

(2)函数 的图像上存在两点 使得 是以坐标原点 为直角顶点的直角三角形,且斜边 的中点在 轴上,求实数 的取值范围;

(3)当 时,讨论关于 的方程 的实根的个数。

正确答案

见解析。

答案解析

(1)当 时, .

因为函数f(x)在 处存在极值,所以 解得 .

(2) 由(1)得

根据条件知A,B的横坐标互为相反数,不妨设 .

,则

是直角得, ,即

.此时无解;

,则 . 由于AB的中点在 轴上,且 是直角,所以B点不可能在 轴上,即 . 由 ,即 =0,即 .。

因为函数 上的值域是

所以实数 的取值范围是 .

(3)由方程 ,知 ,可知0一定是方程的根,

所以仅就 时进行研究:方程等价于

构造函数

对于 部分,函数 的图像是开口向下的抛物线的一部分,

时取得最大值 ,其值域是

对于 部分,函数 ,由 ,知函数 上单调递增。

所以,①当 时,方程 有两个实根;

②当 时,方程 有三个实根;

③当 时,方程 有四个实根.

考察知识点

复合函数的单调性

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